【向量叉乘公式是什么】在向量运算中，叉乘（也称为向量积）是一种重要的数学操作，常用于三维空间中。它不仅能够计算两个向量之间的垂直方向，还能求出这两个向量所形成的平行四边形的面积。下面我们将对向量叉乘的基本概念、公式以及应用进行总结，并通过表格形式清晰展示。
一、向量叉乘的基本概念
向量叉乘是两个向量之间的一种乘法运算，其结果是一个新的向量，该向量与原来的两个向量都垂直。设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，则它们的叉乘记作 a × b，其结果为一个向量，方向由右手法则决定，大小等于两个向量所形成平行四边形的面积。
二、向量叉乘的公式
向量叉乘的公式如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成坐标形式：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)
$$
三、向量叉乘的性质
| 属性 | 描述 | ||||
| 结果 | 向量 | ||||
| 方向 | 垂直于两个原始向量，符合右手法则 | ||||
| 大小 | 等于两个向量模长的乘积与夹角正弦值的乘积，即 $ | \mathbf{a} | \mathbf{b} | \sin\theta$ | |
| 交换律 | 不满足交换律，即 $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$ | ||||
| 分配律 | 满足分配律，即 $\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \times \mathbf{b} + \mathbf{a} \times \mathbf{c}$ |
四、向量叉乘的应用
| 应用场景 | 说明 |
| 物理力学 | 计算力矩、角动量等 |
| 计算机图形学 | 确定物体表面法线方向 |
| 几何分析 | 判断向量是否共面或垂直 |
| 三维几何 | 构建平面方程、计算体积等 |
五、示例计算
假设向量 a = (1, 2, 3)，b = (4, 5, 6)，则：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5, \ 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, \ 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) = (12 - 15,\ 12 - 6,\ 5 - 8) = (-3,\ 6,\ -3)
$$
总结
向量叉乘是向量运算中的重要工具，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。掌握其公式和性质，有助于更好地理解三维空间中的向量关系。通过上述表格和示例，可以更直观地理解和应用向量叉乘。