【分数求导怎么求】在微积分中，求导是计算函数变化率的重要工具。而“分数求导”通常指的是对分式函数（即分子和分母都是关于变量的函数）进行求导。这类问题在高中数学和大学初等微积分中较为常见。本文将总结分数求导的基本方法，并通过表格形式清晰展示不同情况下的求导规则。
一、分数求导的基本概念
分数函数的一般形式为：
$$
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}
$$
其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是关于 $ x $ 的可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $。
要对这样的函数求导，需要用到商法则（Quotient Rule）。
二、分数求导的方法
1. 商法则
对于函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
这个公式可以简化记忆为：分子导乘分母减分子乘分母导，再除以分母平方。
2. 特殊情况处理
当分子或分母为常数时，可以直接使用基本求导法则进行简化。
三、常用分数求导类型与公式
| 分数函数形式 | 导数公式 | 说明 |
| $ f(x) = \frac{c}{v(x)} $（c为常数） | $ f'(x) = -\frac{c \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} $ | 分子为常数时，只需对分母求导后乘以负号 |
| $ f(x) = \frac{u(x)}{c} $（c为常数） | $ f'(x) = \frac{u'(x)}{c} $ | 分母为常数时，直接对分子求导即可 |
| $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $ | $ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ | 使用商法则 |
| $ f(x) = \frac{1}{v(x)} $ | $ f'(x) = -\frac{v'(x)}{[v(x)]^2} $ | 特殊形式，适用于倒数函数 |
四、举例说明
例1：求 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3} $ 的导数。
- $ u(x) = x^2 + 1 $，$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = x - 3 $，$ v'(x) = 1 $
根据商法则：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 3)^2}
= \frac{2x(x - 3) - (x^2 + 1)}{(x - 3)^2}
$$
例2：求 $ f(x) = \frac{5}{x^2 + 1} $ 的导数。
- $ u(x) = 5 $，$ u'(x) = 0 $
- $ v(x) = x^2 + 1 $，$ v'(x) = 2x $
$$
f'(x) = -\frac{5 \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{10x}{(x^2 + 1)^2}
$$
五、总结
分数求导的核心在于正确应用商法则，并注意分子和分母的导数计算。对于简单的分式函数，也可以通过化简后再求导来提高效率。掌握这些方法后，可以轻松应对大多数分数函数的求导问题。
关键词：分数求导、商法则、导数公式、分式函数、微积分基础