【什么是等比数列】等比数列是数学中一种常见的数列形式，它在数列与级数的学习中占有重要地位。理解等比数列的定义、性质和应用，有助于我们在实际问题中更灵活地运用这一数学工具。
一、什么是等比数列？
等比数列（Geometric Sequence）是指从第二项开始，每一项与前一项的比值是一个常数的数列。这个常数称为公比（Common Ratio），通常用字母 r 表示。
例如：
数列 2, 6, 18, 54, 162 是一个等比数列，其中公比 r = 3。
二、等比数列的基本特征
| 特征 | 描述 |
| 定义 | 每一项与前一项的比值为定值（公比） |
| 公比 | 用 r 表示，r ≠ 0，且 r ≠ 1（当 r=1 时为常数列） |
| 通项公式 | 第 n 项 aₙ = a₁ × r^(n−1) |
| 首项 | 数列的第一个数，记作 a₁ |
| 递推关系 | aₙ = aₙ₋₁ × r |
三、等比数列的应用举例
| 应用场景 | 示例 |
| 财务计算 | 利息复利计算、投资增长预测 |
| 科学研究 | 细胞分裂、放射性衰变等指数增长或衰减现象 |
| 计算机科学 | 数据结构中的分治算法、二叉树深度计算 |
| 日常生活 | 人口增长、病毒传播速度分析 |
四、等比数列的性质总结
| 性质 | 内容 | ||
| 项的乘积 | 若数列有奇数项，中间项的平方等于两边对应项的乘积 | ||
| 等比中项 | 在三个连续项 a, b, c 中，若为等比数列，则 b² = a × c | ||
| 和的公式 | 当 | r | < 1 时，无穷等比数列的和为 S = a₁ / (1 - r) |
| 增长趋势 | 当 r > 1 时，数列递增；当 0 < r < 1 时，数列递减；当 r < 0 时，数列交替正负 |
五、等比数列与等差数列的区别
| 比较点 | 等差数列 | 等比数列 |
| 相邻项的关系 | 差为定值（公差 d） | 比为定值（公比 r） |
| 通项公式 | aₙ = a₁ + (n−1)d | aₙ = a₁ × r^(n−1) |
| 图像形状 | 直线 | 指数曲线 |
| 例子 | 2, 5, 8, 11 | 3, 6, 12, 24 |
通过以上内容可以看出，等比数列不仅在数学理论中有重要意义，在现实生活和科学应用中也具有广泛的用途。掌握其基本概念和性质，有助于我们更好地理解和解决相关问题。