【sinx乘sin2x等于什么】在三角函数的学习中，经常会遇到一些乘积形式的表达式，例如“sinx乘sin2x”。这类问题看似简单，但若不熟悉相关公式，可能会让人感到困惑。本文将从数学原理出发，总结“sinx乘sin2x”的简化方法，并以表格形式清晰展示结果。
一、基本概念
我们知道，三角函数的乘积往往可以通过三角恒等变换进行化简。对于“sinx乘sin2x”，我们可以利用积化和差公式来将其转化为更易处理的形式。
二、公式推导
根据积化和差公式：
$$
\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A - B) - \cos(A + B)
$$
令 $ A = x $，$ B = 2x $，代入上式得：
$$
\sin x \cdot \sin 2x = \frac{1}{2} [\cos(x - 2x) - \cos(x + 2x)] = \frac{1}{2} [\cos(-x) - \cos(3x)
$$
由于余弦函数是偶函数，即 $\cos(-x) = \cos x$，因此：
$$
\sin x \cdot \sin 2x = \frac{1}{2} [\cos x - \cos 3x
$$
三、结论总结
通过上述推导，我们得出：
$$
\sin x \cdot \sin 2x = \frac{1}{2} (\cos x - \cos 3x)
$$
这一结果可以帮助我们在计算或解题时，将复杂的乘积形式转换为更简单的和差形式，便于进一步运算或分析。
四、结果对比表
| 表达式 | 简化形式 |
| sinx·sin2x | ½ (cosx - cos3x) |
五、实际应用示例
假设 $ x = \frac{\pi}{6} $，则：
- $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $
- $ \sin(2 \cdot \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $
所以：
$$
\sin(\frac{\pi}{6}) \cdot \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}
$$
另一方面，使用简化后的公式：
$$
\frac{1}{2} (\cos(\frac{\pi}{6}) - \cos(\frac{\pi}{2})) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \right) = \frac{\sqrt{3}}{4}
$$
两者一致，验证了公式的正确性。
六、小结
“sinx乘sin2x”是一个常见的三角函数乘积问题。通过使用积化和差公式，可以将其转化为更简洁的和差形式，从而方便后续计算与分析。掌握此类公式不仅有助于提高解题效率，也有助于深入理解三角函数之间的关系。
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